2011年－1と666と正5角形－
いつもヨタ話ばかりですので、モナリザのついでにちょっとアカデミックな雰囲気のハナシをひとつ。ちなみにモナリザの絵からはフシギな暗号が発見されております。
・Secret Numbers Found in The Mona Lisa
今年は年初から自然界も世界も大揺に揺れているわけですが、けっこう面白い年なのです。例えば今年2011年には、「日/月/西暦下二桁」で表示すると、1並びの日が
1/1/11, 1/11/11, 11/1/11, 11/11/11
と4つも出ます。それから各自の誕生年（西暦）の下2桁と、今年達するあなたの年齢を足してください。・・・・111になったでしょうか？
かくして1が今年のひとつの特徴数なのだ。そして先のモナリザのダ・ビンチなどの芸術家が知っていた美の秘密。それは黄金比率（1:1.618・・・）。たまたま再建主義の富井氏も紹介していたので、ちょっと数学的に説明しよう。
美のヒミツは黄金比率。φ=1.618・・・。例えば芸術作品や建築物に含まれています。(8/5は大体φ)
この1.618・・・をφと書いて、黄金数と言う。これは無理数でして、正確には
であり、実はフィボナッチ漸化式の特性方程式である2次方程式 x^2=x+1 の根(特性根or固有値)だ。
で、皆さん、美しい長方形の縦と横の比はこの黄金比となる。また自然界にいろいろな形で出現するのです。顔の美しさなどもこのφに秘密があり、最近のカメラでは、この比が出現した時に撮影するモノもあるくらい。ダ・ビンチも人体の美を追求して、次の図に辿りついたのです。
この図はレオナルドの描いた有名な人体図であるが、身長とへそから下の長さが黄金比、腕の長さと肘から手までの長さが黄金比。先のダ･ビンチ展では各パーツの比を判定してくれます。
ちなみに根拠は次の図にありますが、幾何学の知識で証明してください（センター試験レベル）。
さらに体で作られる正5角形もその長さの比率が黄金比となる（高校数学で証明すると図のｘがφ）。ちなみに正5角形について先にコロンビアの町の空に出現した写真をお見せしましたね。
さて、この黄金数φですが、実は
と書けるのだ！出ましたね、連続する1と、さらにあの数字、666=111×6！
さらにこの黄金数は
０，１，１，２，３，５，８，１３，２１，３５，・・・
と前の二つを足して次の数列を作ることにより、出てくるのです。この数列は
と漸化式で書け（高校数学の範囲）、この解は
となります。さてそこで、隣り合った数の比を取ってみてください。
1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.6666・・・, 8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.615・・・
と、いかがでしょう？φにどんどん近づくでしょう。これは上の解の比をとって、ｎ→∞とすると容易に理解できます。まあ、数式にはこだわらずともけっこうですが。
かくして今年2011年は1と666と正5角形に関係する黄金比φ、それを生み出すフィボナッチ数列がキーワードとなる予感があるわけですね。皆さん、ご自分の顔のパーツの比をいろいろと測定して、黄金比の表情を作ってみてください。あなたも美女も美男になれるかもです・・・
株式チャートでも応用ができます。
参考：こちらにアニメーションでφが解説されています→黄金比